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$$ \begin{equation}\frac{\partial c(x,t)}{\partial x}=D\frac{\partial^2 c(x,t)}{\partial x^2}\tag{6.33}\end{equation} $$
時間$t$に対してラプラス変換すると、
$$ s \bar{c}(x,s)-c(x,0)=D\frac{\partial^2 \bar{c}(x,s)}{\partial x^2} $$
式6.35と
$$ c(x,0)=c^* $$
$$ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{c^*}{s} \right)=0 $$
なので、少しトリッキーであるが次のように書ける。
$$ \frac{s}{D}\left(\bar{c}(x,s)-\frac{c^}{s} \right)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\bar{c}(x,s)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\bar{c}(x,s)-\frac{c^}{s}\right) $$
2回微分して係数だけ変わるのだから、一般的な微分方程式の解として
$$ \bar{c}(x,s)-\frac{c^*}{s}=a\exp\left(-\sqrt{\frac{s}{D}}x \right)+b\exp\left(\sqrt{\frac{s}{D}}x\right) $$
$x\rarr\infty$のとき、$c_0(x,t)\rarr c^*$の条件から、$b=0$
$$ \bar{c}(x,s)=\frac{c^*}{s}+a\exp\left(-\sqrt{\frac{s}{D}}x \right) $$
ここで少しトリッキーだが、$x$で微分して
$$ \begin{equation}\frac{\partial \bar{c}(x,s)}{\partial x}=a\left(-\sqrt{\frac{s}{D}}\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{s}{D}} x\right)\end{equation} $$
ここで、$x=0$の境界条件
$$ -D\left(\frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_{x=0}=\frac{I(t)}{nFA} $$
をラプラス変換すると
$$ -D\left(\frac{\partial \bar{c}(x,s)}{\partial x} \right)_{x=0}=\frac{\bar{I}(s)}{nFA} $$
なので、式(1)に$x=0$として代入して